Родился в 1954 году в селе Долгое Иршавского района Закарпатской области.
В 1976 г. окончил с отличием Казанский государственный университет (КГУ, с 2010 года – Казанский (Приволжский) федеральный университет, КФУ) по специальности «Математика».
В 1976-1978 гг. работал преподавателем кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета КГУ. В 1978 г. поступил в аспирантуру на кафедру математического анализа КГУ, которую досрочно закончил в 1980 г. с защитой кандидатской диссертации по специальности «Математический анализ».
В 1980-2013 гг. работал в НИИ математики и механики (НИИММ) им. Н.Г. Чеботарева КФУ, где прошел путь от младшего научного сотрудника до профессора и директора НИИ. Должность директора занимал с 1995 по 2013 гг.
В 1991 г. защитил докторскую диссертацию по специальности «Механика жидкостей, газа и плазмы».
С 2012 по 2014 гг. был советником ректора КФУ, в 2014-2016 гг. работал в должности заместителя директора, заведующего кафедрой, а затем профессора Института математики и механики (ИММ) им. Н.И. Лобачевского КФУ.
С 2017 г. работает в должности профессора Высшей школы информационных технологий и интеллектуальных систем (ВШ ИТИС) КФУ.
А.М. Елизаров является в настоящее время признанным авторитетом в области математического моделирования и обратных краевых задач.
Начиная с конца 1990 гг. провел исследования, связанные с формированием цифровых научных библиотек, разметкой математических текстов и методами поиска в них и развитием электронного книгоиздания. С 2008 г. провел ряд исследований по тематике развития информационного общества.
Общее количество научных работ А.М. Елизарова – около 400, среди них: 8 монографий; 22 коллективных монографии; 239 научных работ, в том числе в ведущих российских и зарубежных журналах; более 70 тезисов докладов на различных конференциях; 7 свидетельств о регистрации программ для ЭВМ; 4 учебных пособия.
Подготовил 18 кандидатов наук, был научным консультантом по 2 докторским диссертациям. Был членом ряда докторских диссертационных советов, многократно выступал в качестве оппонента по докторским и кандидатским диссертациям.
А.М. Елизаров принимал и принимает активное участие в педагогической деятельности в качестве профессора кафедры прикладной математики Института вычислительной математики и информатики КФУ; кафедр дифференциальных уравнений, аэрогидромеханики, компьютерной математики и информатики ИММ им. Н.И. Лобачевского КФУ; кафедры информатики информационно-библиотечного факультета Казанского университета культуры и искусств (КазГУКИ); кафедры программной инженерии ВШ ИТИС КФУ.
А.М. Елизаров награжден премией им. Х. Муштари Академии наук Республики Татарстан за лучшую научную работу в области математики (1998 г.), а также многократно премиями КГУ в конкурсах на лучшую научную работу. Многие годы был руководителем основного научного направления университета по механике и математическому моделированию.
А.М. Елизаров выступал в качестве приглашенного лектора с пленарными и секционными докладами на многих международных и всероссийских конференциях.
Является экспертом РФФИ, Российского научного фонда, Отделения математических наук РАН.
А.М. Елизаров – один из организаторов (1996 г.), зам. главного редактора, а с 2015 года – главный редактор международного математического журнала «Lobachevskii Journal of Mathematics» (с 2008 года издается издательством «Шпрингер»); главный редактор журнала «Электронные библиотеки», член редколлегий журналов «Ученые записки Казанского университета. Физико-математические науки» (зам. главного редактора), «Информационное общество», «Наука и научная информация», «Вестник Новосибирского государственного университета. Серия Информационные технологии», Proceedings of the Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, «Программные системы: теория и приложения», «Вестник КазГУКИ (зам. председателя редсовета).
Является членом Российского Национального комитета по теоретической и прикладной механике, Американского математического общества, Немецкого общества математиков и механиков и Международного общества по индустриальной и прикладной математике. Руководил проектами Фонда Сороса «Создание и поддержка в КГУ Центра Интернет» (1998–2001 гг.).
В 1997-2005 гг. руководил проектом «Создание Математического центра им. Н.И. Лобачевского по проведению всероссийских молодежных научных школ и конференций», выполняемого в рамках соответствующей федеральной целевой программы. Был инициатором издания «Трудов Математического центра им. Н.И. Лобачевского» (к настоящему времени опубликовано более 50 томов), является научным редактором значительной части из них. В 1995-2001 гг. руководил проектом создания Поволжского фрагмента сети передачи данных для науки и образования, выполняемого в рамках соответствующей федеральной целевой программы.
В 2009 г. А.М. Елизаров принял активное участие в качестве директора-организатора в создании Казанского Филиала Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.
А.М. Елизарову присвоены ученые звания старшего научного сотрудника (1982), доцента (1984), профессора (1996); почетное звание «Заслуженный деятель науки Республики Татарстан» (2004 г.); звания почетного профессора КазГУКИ и заслуженного профессора КФУ; он награжден нагрудным знаком «Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации» (2007 г.). В 2014 г. удостоен благодарности Президента РФ.
Женат, имеет троих сыновей: Романа (1977 г.р.), Андрея (1983 г.р.) и Артема (1998 г.р.).